Gegeben ist die Funktion

                        € x ‚
#1:   f(x) := (x - 2)·LN¦———¦
                        � 2 ƒ

Berechnung der Nullstellen

           €  € x ‚         ‚
#2:   SOLVE¦LN¦———¦, x, Real¦
           �  � 2 ƒ         ƒ

#3:                                   x = 2

#4:   SOLVE(x - 2, x, Real)

#5:                                   x = 2

Untersuchung des Vorzeichens der Funktionswerte im Definitionsbereich

                € x ‚    
#6:   (x - 2)·LN¦———¦ > 0
                � 2 ƒ    

           €          € x ‚             ‚
#7:   SOLVE¦(x - 2)·LN¦———¦ > 0, x, Real¦
           �          � 2 ƒ             ƒ

#8:                               x ” 2 � x > 0

                € x ‚    
#9:   (x - 2)·LN¦———¦ < 0
                � 2 ƒ    

           €          € x ‚             ‚
#10:  SOLVE¦(x - 2)·LN¦———¦ < 0, x, Real¦
           �          � 2 ƒ             ƒ

#11:                                  false

Damit muss in der Nullstelle ein Minimum vorliegen. Dies wird mit 1. und 2. Ableitung überprüft:

      d      
#12:  —— f(x)
      dx     

                                  € x ‚    2     
#13:                            LN¦———¦ - ——— + 1
                                  � 2 ƒ    x     

        € x ‚    2         
#14:  LN¦———¦ - ——— + 1 = 0
        � 2 ƒ    x         

            €  € x ‚    2                  ‚
#15:  NSOLVE¦LN¦———¦ - ——— + 1 = 0, x, Real¦
            �  � 2 ƒ    x                  ƒ

#16:                                  x = 2

      d  d      
#17:  —— —— f(x)
      dx dx     

                                    1      2 
                                   ——— + ————
#18:                                x      2 
                                          x  

Mit dem "Substituieren"-Befehl berechnet man den Wert der     2.Ableitung an der Stelle 2.

#19:                                    1

Die notwendige und die hinreichende Bedingung für das Vor-    handensein eines Minimums an der Stelle (2/0)sind somit       erfüllt.

Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

                     € x ‚
#20:  lim  (x - 2)·LN¦———¦
      x˜0+           � 2 ƒ

#21:                                    –

Begründung:x-2 geht gegen -2 und ln(x/2)geht gegen - –

                    € x ‚
#22:  lim (x - 2)·LN¦———¦
      x˜–           � 2 ƒ

#23:                                    –

Begründung: beide Faktoren gehen gegen –.

Wendepunkte (notw. Bedingung):

       1      2     
      ——— + ———— = 0
#24:   x      2     
             x      

            € 1      2              ‚
      NSOLVE¦——— + ———— = 0, x, Real¦
#25:        ¦ x      2              ¦
            �       x               ƒ

#26:                                 x = -2

           € 1      2          ‚
      SOLVE¦——— + ————, x, Real¦
#27:       ¦ x      2          ¦
           �       x           ƒ

#28:                             x = ±– � x = -2

f besitzt keine Wendepunkte, da -2 nicht im Definitionsbereichliegt. Interpretationswürdig ist die von Derive angebotene    Lösung ± – !

Zeichnung des Graphen und Berechnung des Flächeninhalts der   Fläche zwischen Graph, x-Achse und den beiden Parallelen x=4  und x=8. Die Stammfunktion kann, wenn überhaupt, nur sehr     schwer gefunden werden.

#29:  PlotInt(f(x), x, 4, 8)

      „          € x ‚                € x ‚                           
#30:  ¦(x - 2)·LN¦———¦, y < (x - 2)·LN¦———¦ � 0 < y � 4 “ x “ 8, (x - 
      …          � 2 ƒ                � 2 ƒ                           

             € x ‚                        †
        2)·LN¦———¦ < y � y < 0 � 4 “ x “ 8¦
             � 2 ƒ                        ‡

       8        
      ˆ         
#31:  ‰  f(x) dx
       4        

#32:                              32·LN(2) - 4

Das Auffinden von Stammfunktionen, häufig also das Anwenden   von Integrationsmethoden erfordert viel Übung. Ohne zeitauf-  wendiges Differenzieren der eigenen Lösung kann man mit einem CAS-Programm das Ergebnis schnell überprüfen. Das Differen-   zieren der eigenen Lösung mit Hilfe des Programms hilft sicherlich bei der Auffindung eigener Fehler. Ein Beispiel:

                   2·x    
                  ê       
#33:  h(x) := ————————————
                  2·x     
               5·ê    + 1 

      ˆ      2·x       
      ¦     ê          
#34:  ¦ ———————————— dx
      ¦     2·x        
      ‰  5·ê    + 1    

                                     2·x          
                               LN(5·ê    + 1)     
#35:                          ———————————————— + c
                                     10           

                                       2·x         
#36:                         0.1·LN(5·ê    + 1) + c