Ortskurve der Extrema und Wendepunkte der Funktion 

#1:   f(x) := (LN(x) - 2·a)·LN(x)

Extrema

      d                       
#2:   —— ((LN(x) - 2·a)·LN(x))
      dx                      

                                 2·LN(x)     2·a 
#3:                             ————————— - —————
                                    x         x  

           € 2·LN(x)     2·a          ‚
#4:   SOLVE¦————————— - —————, x, Real¦
           �    x         x           ƒ

                                               a
#5:                              x = ±– � x = ê 

      d  d                       
#6:   —— —— ((LN(x) - 2·a)·LN(x))
      dx dx                      

                               2·a + 2     2·LN(x) 
                              ————————— - —————————
#7:                                2           2   
                                  x           x    

                                       - 2·a
#8:                                 2·ê     

Berechnung des Funktionswerts

                                         2
#9:                                   - a 

Da die zweite Ableitung an der Stelle ê^a positiv ist, liegt  im Punkt (ê^a/-a^2) ein Minimum vor.

Ermittlung der Ortskurve aller Minima:

                 a          
#10:  SOLVE(x = ê , a, Real)

#11:                                a = LN(x)

Einsetzen in den Term für den y-Wert ergibt:

                                           2
#12:                                - LN(x) 

Wendepunkte:

           € 2·a + 2     2·LN(x)          ‚
      SOLVE¦————————— - —————————, x, Real¦
#13:       ¦     2           2            ¦
           �    x           x             ƒ

                                             a + 1
#14:                           x = ±– � x = ê     

      d  d  d                       
#15:  —— —— —— ((LN(x) - 2·a)·LN(x))
      dx dx dx                      

                             4·LN(x)     2·(2·a + 3) 
                            ————————— - —————————————
#16:                             3             3     
                                x             x      

                                      - 3·a - 3
#17:                             - 2·ê         

Die 3. Ableitung ist an der Stelle ê^(a+1)ungleich 0, folglichexistiert an der Stelle x= ê^(a+1)ein Wendepunkt.

Berechnung des Funktionswerts:

#18:                             (a + 1)·(1 - a)

                                          2
#19:                                 1 - a 

Ermittlung der Ortskurve aller Wendepunkte:

       a + 1    
#20:  ê      = x

             a + 1              
#21:  SOLVE(ê      = x, a, Real)

#22:                              a = LN(x) - 1

Einsetzen in den Term für den y-Wert ergibt:

                                               2
#23:                            2·LN(x) - LN(x) 

Zeichnung:

#24:  VECTOR((LN(x) - 2·a)·LN(x), a, -3, 3, 1)

      „     2                 2                 2                 2  
#25:  …LN(x)  + 6·LN(x), LN(x)  + 4·LN(x), LN(x)  + 2·LN(x), LN(x) , 

             2                 2                 2          †
        LN(x)  - 2·LN(x), LN(x)  - 4·LN(x), LN(x)  - 6·LN(x)‡